A fractional representation approach to the robust regulation problem for SISO systems

The purpose of this article is to develop a new approach to the robust regulation problem for plants which do not necessarily admit coprime factorizations. The approach is purely algebraic and allows us dealing with a very general class of systems in a unique simple framework. We formulate the famous internal model principle in a form suitable for plants defined by fractional representations which are not necessarily coprime factorizations. By using the internal model principle, we are able to give necessary and sufficient solvability conditions for the robust regulation problem and to parameterize all robustly regulating controllers.Comment: 13 pages, 1 figure, to appear in Systems & Control Letter

Purity filtration of multidimensional linear systems

International audienceIn this paper, we show how the purity filtration of a finitely presented module, associated with a multidimensional linear system, can be explicitly characterized by means of classical concepts of module theory and homological algebra. Our approach avoids the use of sophisticated homological algebra methods such as spectral sequences used in [3], [4], [5], associated cohomology used in [9], and Spencer cohomology used in [12], [13]. It allows us to develop efficient implementations in the PURITYFILTRATION and AbelianSystems packages. The purity filtration gives an intrinsic classification of the torsion elements of the module by means of their grades, and thus a classification of the autonomous elements of the multidimensional linear system by means of their codimensions. The results developed here are used in [16] to determine an equivalent block-triangular linear system of the multidimensional linear system formed by equidimensional diagonal blocks. This equivalent linear system highly simplifies the computation of a Monge parametrization of the original linear system

Grade filtration of linear functional systems

The grade filtration of a finitely generated left module M over an Auslander regular ring D is a built-in classification of the elements of M in terms of their grades (or their (co)dimensions if D is also a Cohen-Macaulay ring). In this paper, we show how grade filtration can be explicitly characterized by means of elementary methods of homological algebra. Our approach avoids the use of sophisticated methods such as bidualizing complexes, spectral sequences, associated cohomology, and Spencer cohomology used in the literature of algebraic analysis. Efficient implementations dedicated to the computation of grade filtration can then be easily developed in the standard computer algebra systems (see the Maple package PurityFiltration and the GAP4 package AbelianSystems). Moreover, this characterization of grade filtration is shown to induce a new presentation of the left D-module M which is defined by a block-triangular matrix formed by equidimensional diagonal blocks. The linear functional system associated with the left D-module M can then be integrated in cascade by successively solving inhomogeneous linear functional systems defined by equidimensional homogeneous linear systems of increasing dimension. This equivalent linear system generally simplifies the computation of closed-form solutions of the original linear system. In particular, many classes of underdetermined/overdetermined linear systems of partial differential equations can be explicitly integrated by the packages PurityFiltration and AbelianSystems, but not by computer algebra systems such as Maple.La filtration par grade d'un module à gauche M finiment engendré sur un anneau Auslander-régulier D est une classification intrinsèque des éléments de M en fonction de leurs grades (ou de leurs (co)dimensions si D est aussi un anneau de Cohen-Macaulay). Dans ce papier, nous montrons comment la filtration par grade peut être explicitement caractérisée au moyen de techniques élémentaires d'algèbre homologique. Notre approche évite l'utilisation de techniques sophistiquées telles que les complexes bidualisants, les suites spectrales, la cohomologie associée et la cohomologie de Spencer utilisées dans la littérature d'analyse algébrique. Des implantations efficaces dédiées au calcul de la filtration par grade peuvent alors être facilement développées dans les systèmes standards de calcul formel (voir le package PurityFiltration de Maple et le package AbelianSystems de GAP4). De plus, cette caractérisation de la filtration par grade induit une nouvelle présentation du D-module à gauche M qui est définie par une matrice triangulaire par blocs formée de blocs diagonaux équidimensionnels. Le système linéaire fonctionnel associé au D-module à gauche M peut alors être intégré en cascade par la résolution successive de systèmes linéaires fonctionnels inhomogènes définis par des systèmes linéaires homogènes équidimensionnels de dimension croissante. Ce système linéaire équivalent simplifie généralement le calcul des solutions sous formes closes du système linéaire originel. En particulier, de nombreux systèmes linéaires sur-déterminés/sous-déterminés d'équations aux dérivées partielles peuvent être explicitement intégrés au moyen des packages PurityFiltration et AbelianSystems, alors qu'ils ne peuvent l'être par des systèmes de calcul formel tels que Maple

Serre's reduction of linear partial differential systems with holonomic adjoints

Given a linear functional system (e.g., ordinary/partial differential systems, differential time-delay systems, difference systems), Serre's reduction aims at finding an equivalent linear functional system which contains fewer equations and fewer unknowns. The purpose of this paper is to study Serre's reduction of underdetermined linear systems of partial differential equations with either polynomial, formal power series or analytic coefficients and with holonomic adjoints in the sense of algebraic analysis. We prove that these linear partial differential systems can be defined by means of a single linear partial differential equation. In the case of polynomial coefficients, we give an algorithm to compute the corresponding equation.Etant donné un système fonctionnel linéaire (e.g., système d'équations différentielles ordinaires, système d'équations aux dérivées partielles, système d'équations différentielles à retard, système d'équations aux différences), la réduction de Serre a pour but de trouver un système fonctionnel linéaire équivalent contenant moins d'équations et d'inconnues. L'objectif de ce papier est l'étude de la réduction de Serre des systèmes linéaires sous-déterminés d'équations aux dérivées partielles à coefficients polynomiaux, séries formelles ou séries localement convergentes, dont les adjoints sont holonomes au sens de l'analyse algébrique. Nous prouvons que de tels systèmes peuvent être définis par une seule équation aux dérivées partielles. Dans le cas des coefficients polynomiaux, nous donnons un algorithme permettant de calculer l'équation correspondante

Serre's reduction of linear systems of partial differential equations with holonomic adjoints

Given a linear functional system (e.g., ordinary/partial di erential system, di erential time-delay system, di erence system), Serre's reduction aims at nding an equivalent linear functional system which contains fewer equations and fewer unknowns. The purpose of this paper is to study Serre's reduction of underdetermined linear systems of partial di erential equations with either polynomial, formal power series or analytic coe cients and with holonomic adjoints in the sense of algebraic analysis. We prove that these linear partial di erential systems can be de ned by means of a single linear partial di erential equation. In the case of polynomial coe cients, we give an algorithm to compute the corresponding equation

An Integro-differential Operator Approach to Linear State-space Systems

International audienceIn this paper, the algebraic analysis approach to linear state-space systems is further developed using rings of integro-differential operators. The module structure of linear state-space systems is investigated over these rings. The module associated with a linear state-space system is shown to be the direct sum of the stably free module defined by the linear system without inputs and the free module defined by the inputs of the system

An introduction to constructive algebraic analysis and its applications

This text is an extension of lectures notes I prepared for les Journées Nationales de Calcul Formel held at the CIRM, Luminy (France) on May 3-7, 2010. The main purpose of these lectures was to introduce the French community of symbolic computation to the constructive approach to algebraic analysis and particularly to algebraic D-modules, its applications to mathematical systems theory and its implementations in computer algebra systems such as Maple or GAP4. Since algebraic analysis is a mathematical theory which uses different techniques coming from module theory, homological algebra, sheaf theory, algebraic geometry, and microlocal analysis, it can be difficult to enter this fascinating new field of mathematics. Indeed, there are very few introducing texts. We are quickly led to Björk's books which, at first glance, may look difficult for the members of the symbolic computation community and for applied mathematicians. I believe that the main issue is less the technical difficulty of the existing references than the lack of friendly introduction to the topic, which could have offered a general idea of it, shown which kind of results and applications we can expect and how to handle the different computations on explicit examples. To a very small extent, these lectures notes were planned to fill this gap, at least for the basic ideas of algebraic analysis. Since, we can only teach well what we have clearly understood, I have chosen to focus on my work on the constructive aspects of algebraic analysis and its applications.Ce texte est une extension des notes de cours que j'ai préparés pour les les Journées Nationales de Calcul Formel qui ont eu lieu au CIRM, Luminy (France) du 3 au 7 Mai 2010. Le but principal de ce cours était d'introduire la communauté française du calcul formel à l'analyse algébrique constructive, et particulièrement à la théorie des D-modules algébriques, à ses applications à la théorie mathématique des systèmes et à ses implantations dans des logiciels de calcul formel tels que Maple ou GAP4. Parce que l'analyse algébrique est une théorie mathématique qui utilise différentes techniques venant de la théorie des modules, de l'algèbre homologique, de la théorie des faisceaux, de la géométrie algébrique et de l'analyse microlocale, il peut être difficile d'entrer dans ce domaine, nouveau et fascinant, des mathématiques. En effet, il existe peu de textes introductifs. Nous sommes rapidement conduits aux livres de Björk qui, à première vue, peuvent sembler difficiles aux membres de la communauté de calcul formel et aux mathématiciens appliqués. Je pense que le problème vient moins de la difficulté technique de la littérature existante que du manque d'introductions pédagogiques qui donnent une idée globale du domaine, montrent quels types de résultats et d'applications on peut attendre et qui développent les différents calculs à mener sur des exemples explicites. A leur humble niveau, ces notes de cours ont pour but de combler ce manque, tout du moins en ce qui concerne les idées de base de l'analyse algébrique. Puisque l'on ne peut enseigner bien que les choses que l'on a bien comprises, j'ai choisi de restreindre cette introduction à mes travaux sur les aspects constructifs de l'analyse algébrique et sur ses applications

Une approche par opérateurs intégro-diférentiels des systèmes différentiels linéaires

International audienceIn this paper, we initiate a new algebraic analysis approach to linear differential systems based on rings of integro-differential operators. Within this algebraic analysis approach, we first interpret the method of variations of constants as an operator identity. Using this result, we show that the module associated with a state-space representation of a linear system is the same as the one associated with its standard convolution representation. This finitely presented module over the ring of integro-differential operators is proved to be stably free. Finally, we show how the reachability property can be expressed within this algebraic analysis approach

An Integro-differential-delay Operator Approach to Transformations of Linear Differential Time-delay Systems

International audienceIn this paper, we further develop the study of rings of integro-differential-delay operators considered as noncommutative polynomial algebras satisfying standard calculus identities. Within the algebraic analysis approach, we show that transformations and reductions of linear differential time-delay systems can be interpreted as homomorphisms and isomorphisms of finitely presented left modules over an algebra of integro-differential-delay operators. In particular, we show how Fiagbedzi-Pearson's transformation can be found again and generalized. This transformation maps the solutions of a first-order differential linear system with state and input delays to the solutions of a purely state-space linear system. Fiagbedzi-Pearson's transformation reduces to the well-known Artstein's reduction when the system has no state delay and yields an isomorphism of the solution spaces

Calcul des solutions polynomiales et des annulateurs d’opérateurs intégro-différentiels à coefficients polynomiaux

In this paper, we study algorithmic aspects of the algebra of linear ordinary integro-differential operators with polynomial coefficients. Even though this algebra is not Noetherian and has zero divisors, Bavula recently proved that it is coherent, which allows one to develop an algebraic systems theory over this algebra. For an algorithmic approach to linear systems of integro-differential equations with boundary conditions, computing the kernel of matrices with entries in this algebra is a fundamental task. As a first step, we have to find annihilators of integro-differential operators, which, in turn, is related to the computation of polynomial solutions of such operators. For a class of linear operators including integro-differential operators, we present an algorithmic approach for computing polynomial solutions and the index. A generating set for right annihilators can be constructed in terms of such polynomial solutions. For initial value problems, an involution of the algebra of integro-differential operators then allows us to compute left annihilators, which can be interpreted as compatibility conditions of integro-differential equations with boundary conditions. We illustrate our approach using an implementation in the computer algebra system Maple.Dans ce papier, nous étudions certains aspects algorithmiques de l’algèbre des opérateurs intégro-différentiels ordinaires linéaires à coefficients polynomiaux. Même si cette algèbre n’est pas noetherienne et admet des diviseurs de zéro, Bavula a récemment montré qu’elle était cohérente, ce qui permet le développement d’une théorie algébrique des systèmes linéaires sur cette algèbre. Pour une approche algorithmique des systèmeslinéaires d’équations intégro-différentielles ordinaires avec conditions aux bords, le calcul du noyau de matrices à coefficients dans cette algèbre est un problème fondamental. Pour cela, dans un premier temps, nous sommes amenés à calculer les annulateurs d’opérateurs intégro-différentiels, problème qui, à son tour, est relié au problème du calcul des solutions polynomiales de tels opérateurs. Pour une classe d’opérateurs linéaires incluant les opérateurs intégro-différentiels, nous présentons une approche algorithmique pour le calcul des solutions polynomiales et de l’indice. Un ensemble générateur des annulateurs à droite d’un opérateur intégro-différentiel est alors construit grâce au calcul de solutions polynomiales. Pour les problèmes avec conditions initiales, une involution de l’algèbre des opérateurs intégro-différentiels nous permet ensuite de calculer les annulateurs à gauche, qui peuvent être interprétés comme des conditions de compatibilité d’équations intégro-différentielles avec conditions aux bords. Nous illustrons notre approche à l’aide d’une implémentation dans le système de calcul formel Maple